The Princeton Companion to Mathematics

• 梦在撒哈拉

  2024-05-03
  什么是函数空间？当我们处理实数或复数时，一个数x有一个自然的大小概念，即它的模。我们也可以利用这一个大小的概念来定义两个数x和y的距离|x-y|，由此可以说，哪些成对的数是互相接近的，哪些是远离的然而，当处理具有较多自由度的对象时，情况就变得比较复杂。举例来说，考虑决定一个3维矩形箱子的“大小”，这里有好几个量可供选用：长、宽、高、体积、表面积、直径（最长的对角线长度）、扁平率等等。不幸的是，用这些量作出的大小比较并不是等价的。例如，箱子A可能比箱子B长一些，而且体积也比较大，但是箱子B可能宽一些，而且表面积大一些。由于这个原因，人们放弃了箱子应该只用一个量来表示其大小的想法，而接受了另一个思想：有许多这样的大小概念，它们都可能是有用的，在有些应用里，把大体积的箱子和小体积的箱子分开来：在有些应用里，可能想把扁平的箱子和圆一点的箱子分开来。当然，不同的大小概念有一些关系（例如等周不等式V26），它们在已知表面积时，对体积的可能值给出了一个上界，所以，情况并不像初看起来那样漫无头绪现在回到具有固定的定义域和值域的函数（最好心里记住一个定义在区间[一1，1）上而值在实直线R中的函数∫：【一1，1]一→R，这是一个好的例子）。这些对象有无穷多自由度，所以毫不奇怪，这里也有无穷多不同的“大小”概念，而它们都对于“一个已给的函数有多大”这个问题（或者对一个密切相关的问题：“两个函数 f 和g有多么接近？”）提供了不同的答案。有时候，一些函数在某种度量下有无穷的大小，而在另一种度量下则只有有限大小（类似地，一对函数可能在某种度量下非常接近，而在另一种度量下距离很远）。这里的情况又可能看起来很混乱，但是它仅是反映了一个事实，即函数可能有许多不同的特性一有的高，有的胖，有的光滑，有的震荡，等等，而按照不同的应用，可能更着重于一种特性，而不是另一种。在...
• 你是一只小猫咪

  2024-03-07
  转过头来，事实上，解决许多几何问题的好方法是“把它转换成代数”，这种做法最著名的例子是使用笛卡儿坐标例如，如果想把一个圆对经过圆心的直线工作反射，再逆时针旋转40°，然后再对同直线工反射一次。这个问题的一种做法是把它可视化如下：想象这个圆是用薄的木片做的不必对此直线反射，而可以（通过木片外的第3维）绕L旋转180°。再把所得的结果翻个面，其实，如果对木片的厚度忽略不计，翻面并不起作用。现在如果从木片下方往上看，并且让它逆时针旋转40°，则从原来的位置看，木片是顺时针旋转了40°。现在再把木片翻回来，即绕L在第3维里再旋转180°，总的效果就是顺时针方向旋转40°
• tqtifnypmb

  2017-01-14
  对于一个方程，要紧的时常是解的存在与性质，而不是能否找到解的公式。
• tqtifnypmb

  2017-01-15
  只有平庸之辈才对自己的能力极为自信。
• lucylu627

  2014-05-08
  The idea is both to make general arguments that are then applicable to all categories possessing partic- ular structural features, and also to be able to make arguments in specific environments without having to go into the details of the structures in question. The use of the former to achieve the latter is sometimes referred to, endearingly or otherwise, as “abstract nonsense.”
• 任平生

  2014-03-08
  It is not knowledge, but the act of learning, not possession but the act of getting there, which grants the greatest enjoyment. When I have clarified and exhausted a subject, then I turn away from it, in order to go into darkness again; the never-satisfied man is so strange—if he has completed a structure, then it is not in order to dwell in it peacefully, but in order to begin another. I imagine the world conqueror must feel thus, who after one kingdom is scarcely conquered, stretches out his arms for others.
• tqtifnypmb

  2017-01-14
  ……真正有趣的定义是不那么显然，而是一旦有了它，就会用新的方式来思考的那种定义。
• ௵

  2014-12-01
  把函数在一个点的值理解为同态导致了环论的一个一般观点，据此，交换环经常可以被理解为一个集合上的函数环，该集合的“点”对应于原来那个环到域的同态.
• ௵

  2014-12-01
  紧流形 X 上的相当大一部分几何学可以纯粹地以 C*-代数 C(X) 的语言来重新陈述. 这里的“纯粹地”这个词意味着并无必要讲到流形 X，而 C(X) 本来是参照着流形 X 来定义的——我们需要的仅是 C(X) 是一个代数. 这就意味着有可能有这样的不是几何地生成的代数，但是对于它们，经过重新陈述的几何概念仍然可用.
• ௵

  2014-12-01
  时常是从一个大得令人绝望而又极为复杂的对象出发，但是“把绝大部分的乱七八糟都分出来除掉了”，结果得到的商结构却足够简单而能够处理，而仍旧传递重要的信息.
• tqtifnypmb

  2017-01-08
  要理解一个数学结构的定义，重要的第一步是找到足够多的例子。有了例子，就开始找到了对于这个结构的感觉，而仅仅定义是提供不了这种感觉的。