数学的统一性
最新书摘：
-
GoodMorning2013-12-01我提出的第一件事是解决问题和建立理论之间的关系。当然，对这两方面都可以提出些质疑：如果一个理论不能解决问题，其效用何在；研究无穷多个毫无关系的问题，尽管每个也许都有很有趣，又有什么用处。我想，我们也许可以这样来看问题：你从现存的问题出发，其中许多问题最初都有物理背景；为了了解问题，你必须要有一个聪明的想法以及某种诀窍，当这种诀窍足够精巧又有足够多的类型相当多饿问题，你就可以把诀窍发展成一种技术；最后，假如你涉及的是一个非常广阔的领域，你就能获得某种理论。这就是从问题到理论的演化过程
-
SeanRebn2015-06-05当下数学的三种发展方向：1.群论 是对抽象对称性的研究群论（对称理论）在晶体学和量子化学上有大量的重要应用2.概率论数学发展由牛顿时代前的未知元（方程）到之后的函数映射，现在概率分布已经取代了经典的函数概念的地位。3.对定性的数学的追求——拓扑学。我们必须设法把我们的经验浓缩成便于理解的形式，这即是理论之基本所为。引用庞加莱在谈论这个主题是不得不说的话：科学由事实建造，正如房屋由石块建成一样；但是事实的收集并非科学，恰如石块的堆积并非屋宇。欧拉导出了许多极其漂亮的公式。（只是在大约一个世纪以后，人们才给这类公示附加上精确的意义）用几何方式来解释代数方程却是笛卡尔的伟大贡献。一般而言，任何二院多项式方程都会给出一个带洞的曲面，洞的个数叫做曲面的亏格。他可以取任意值。√-1所具有的真正的超现实性是难以捉摸的。
-
GoodMorning2013-12-01这些更伟大的成果是什么呢？我认为答案是简单的、实际的，但具有深远意义，即研究n个变元x_1,…,x_n，和n个变元的函数f(x_1,…,x_n)。如果人们要讨论19世纪数学与20世纪数学的最主要的区别，那么我想是20世纪对多变元函数的研究变得越来越重要了。可以这样解释：单变元x与多变元x_1,…,x_n之间的差别本质上是几何的。事实上在一条线上的几何可以说是平凡的（因为实数是有序的），而当维数至少是二或三时，其几何概念就变得复杂而重要了。我们用以下三种不同的方法说明这点：（1）局部的：在一条线上，原点处只有两个方向；而在平面上，在原点处有无穷多个方向（2）整体的：对于一条线，只有一种方法使它封闭，即作成一个圆；但对于一个平面却可以有多种方法使它成为封闭曲面，如球面（用立体投射法），环面（将一正方形对边粘合）等等（3）代数的：在一条线上没有刚体转动，而二维或三维时有无限多个旋转。在二维时转动用一个角来表示，两个转动作用是可以交换的，但在三维时，不总是可以交换的。
-
GoodMorning2013-12-01数学教育的内涵式是什么呢？（1）我想，过分强调数学中的形式结构是错误的。我不相信给小学生们引入集合、交换律、分配律等会是应该做的事；（2）抽象化要在坚实的实验基础上才是有意义的。进而，当引入抽象的思想时，其用处必须要有具体问题给予证实；（3）现代数学最好的方面是它所强调的一些基本思想，如对称性、连续性和线性性等，它们都有着广泛应用，这应该在讲课中尽可能地反应出来；（4）最后我想对几何这个学科说几句话。欧式几何最初是数学原始材料的巨大源泉，几个世纪以来都是学校教育的台柱，可现在它失去了王位。19世纪的战场最终以代数和分析的胜利而告终，这最后必定导致欧式几何在中学和大学的名存实亡。有种种理由使我觉得这是最不幸的事。首先，有人错误地理解了数学中已发生的这种变化。我一直试图指出，本世纪的数学很大程度上是与这样的困难作斗争，它们的本质特征是几何的。说得确切些，这些困难是研究高维问题出现的。当然对这种更为一般的几何观点，欧式几何的框架太窄了。然而，常常出现的情况是，欧式几何下了台，却没有什么可以填补上这个空缺。我对几何的作用的减少感到遗憾的另一个理由是，几何直觉仍是增进数学理解里的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。需知我不是强要增加任何一门几何课，我只是请求尽可能广泛的应用各种程度的几何思想。
-
GoodMorning2013-12-01只重视形式的数学研究屑于这样一种行为：你用某种聪明的技巧得到了正确的结果，接着就继续往前，并不过多的担忧其严格与否，对严格性持后会有期的态度。现在你可能会问：什么是严格性？一些人把严格定义为"rigor mortis",相信伴随纯粹数学而来的，是对那些知道如何得到正确答案的人的活动的抑制。我想，我们必须再次记住数学是人类的一种活动。我们的目标不仅是要发现些什么，而且要把信息传下去。有些人，比如欧拉，他们知道如何写出一个发散级数又得到正确的答案，他们对该做什么和不该做什么必定具有某种非凡的感觉。欧拉从大量的经验中获得了某种直觉，而直觉是很难传达给别人的。下一代人并不知道他的结果是怎么得出来的。严格的数学论证的作用正在于使得本来是主管的，极度依赖个人直觉的事物，变得具有某种客观性并能够加以传递。我完全不想拒绝这类直觉带来的好处，只是强调为了能向其他人传播，所获得的发现最终应以如下方式表述：清晰明确，毫不含糊，能被并无开创者那种洞察力的人所理解。
-
任平生2014-03-09公理是为了把一类问题孤立出来，然后去发展解决这类问题的技巧而提炼出来的。一些人认为公理是用来界定一个自我封闭的完整的数学领域的。我认为这是错的。公理的范围越窄，你舍弃得就越多。当你在数学中进行抽象化时，你把你想要研究的与你认为无关的东西分离开，这样做在一段时期里是方便的，它使思维集中。但是通过定义，舍弃了宣布你认为不感兴趣的东西，而从长远看来，你丢掉了很多根芽。如果你用公理化方法做了些东西，那么在一定阶段后你应该再回到它的来源处，在那儿进行同花和异花受精，这样是健康的。