数学分析讲义（第一册）

• 敬之俊如

  2014-10-27
  在教学过程中,同学们常常给我指出教学和原讲义中的很多疏漏和错误,提出了许多有益的建议,帮助我改正错误和完善教学工作.同学们强烈的求知欲望和勤奋好学的精神(它们是学好这本有相当难度的讲义所不可缺少的！也是想进入近代数学的殿堂所不可缺少的！)一直是我完成教学工作的重要动力.在此，我愿向帮助我纠正错误和激励我的教学工作的同学们表示衷心的感谢.作者2008年12月于北京
• 敬之俊如

  2014-10-27
  同学们应该认识到：本讲义的正文介绍的数学分析的主要概念及这些概念之间的基本联系只构成了数学分析内容的骨骼.经历了用数学分析知识去解决问题的足够多的训练,并充分理解了数学分析与其他科学分支之间的联系方式后,同学们学到的数学分析才会是有血有肉的.我们鼓励任何想要真正掌握数学分析这个工具,包括立志从事数学研究或把数学作为今后(非数学)研究工作的不可缺少的工具的同学尽可能多地完成这些习题,并尽可能多地阅读书中的补充教材.它们是本讲义不可缺少的部分.讲义常把习题中的一个问题分割成许多小题,希望这能帮助同学独自,或在独立思考的基础上与其他同学讨论后,去探索解决问题的途径.试着用自己的大脑去探索,不管成功与否,都是进入近代数学殿堂前的不可或缺的经验.顺便说一句,由于习题的重要性,在清华大学和北京大学教数学分析课时,极大部分的习题课和极大部分的答疑都是由笔者自己担任的,这是为了使同学们通过认真思索而学好这门有相当多难点的数学分析课程而不得不采取的措施.
• 敬之俊如

  2014-10-27
  为了不给同学造成在以后的学习中不得不放弃学习一门本来可以很好地学下去的后继课程或在选择研究课题时不得不放弃进入一个很有价值的研究领域那样的伤害,本讲义的每一章都附有一些难度不等的习题,在有些章的最后还附有补充教材.它们是本讲义不可缺少的组成部分.本讲义的习题除了提供利用已学知识去解决问题的训练外,还补充了一些正文中没有介绍的有用知识,有的在本讲义的后继章节就要用到.
• 敬之俊如

  2014-10-27
  法国数学家 J.Dieudonné 在他的《现代分析基础》中还说过：“盲目地遵从一元函数的导数是个数这一陈旧的解释,在多元微分学中将不得不付出代价.”为了使数学分析语言赶上科学发展对它的需求,本讲义在讲述多元微分学时尽可能地介绍不依赖于坐标的(或称内蕴的)概念,在第 8 章的补充教材中专门讲述无限维线性赋范空间的微分学的目的之一也就是想说明,微分学完全可以不依赖于坐标而建立.事实上,这种内蕴的讲法是更自然的讲述微分学的方式.本讲义简略地介绍了 Grassmann 代数和微分形式,并用微分形式的语言表述 Stokes 公式.这已被当今许多数学分析课本所采用.正像法国数学家 J.Dieudonné 所说的：“无疑地，由于它(微分形式)的抽象性,以及我们不得不离开原有的空间而进入越来越复杂的函数空间，和比较舒适的学习微积分的传统的表述相比,学习微积分的内蕴表述将要求同学们付出大得多的脑力劳动.不过,这是值得的,因为它将铺平进入微分流形学习的道路.”
• 敬之俊如

  2014-10-27
  又因为以下的事实是不容置疑的：凡是用 Riemann 积分的地方都可以用 Lebesgue 积分替代,反之则不然.所以,法国数学家 J.Dieudonné 在他的《现代分析基础》([9])一书中说过如下的话：“假若不是由于 Riemann 显赫的名声, Riemann 积分早就被淘汰了.”
• 敬之俊如

  2014-10-27
  注意到国外许多数学分析的教材已与半个世纪前笔者作为学生学习数学分析时所用的教材大不相同,笔者 20 余年来在清华大学与北京大学的数学分析教学过程中,力图按照 A.Weil 的想法,希望在教学中让同学们学到数学分析语言的、能赶上科学发展需求的语法和词汇.本讲义就是在这 20 余年的数学分析教学实践的基础上写成的.
• 敬之俊如

  2014-10-27
  Newton 早于Leibniz 得到这个结果,但没有立即发表它.Leibniz 在与物理学家 Huygens 为一件外交事务交往时,在一个短得难于置信的时间内学到了微分与积分这种新的数学概念,不久,他独立于 Newton 而获得了这个结果,并立即发表了它.事后,崇拜 Newton 的人与 Leibniz 的朋友之间发生了激烈的争执,前者毫无根据地指责 Leibniz 剽窃.后来卷入这场争执的人愈来愈多,成了英国科学家和欧洲大陆科学家之间的争执,历时竟达二百年.这样的争执对科学的发展是毫无意义的.事实上,一个结果之所以重要是因为它跟许多重要的科学分支有联系,因此不同的人从不同的问题出发,经历不同的道路,得到同一个重要的结果在人类文明史上是屡见不鲜的.我们中国人早就认识到这一规律,称它为“殊途同归”.这场由崇拜 Newton 的英国人首先挑起的二百年的争执给英国数学造成的伤害是严重的.有许多数学史的著作介绍这段历史.当然,这个问题的讨论已远远超出本讲义的范围了.我们只摘录 20 世纪的美国数学家 Nobert Wiener 于 1949 年写下的下面这段耐人寻味的话,因为它很客观地总结了科学史上这场悲剧的深刻教训:毋容置疑, Leibniz 的工作晚于 Newton,但他是独立于 Newton 而工作的, Leibniz 的符号远优于 Newton.不幸,两位发明者的朋友和同事,爱国心切,忠于友情,但不分青红皂白,错误地挑起了一场争端,其影响至今尚未肃清.特别,使用不那么灵活的 Newton 的符号,藐视欧洲大陆 Leibniz 学派的工作,竟成为英国数学家爱国和忠于信仰的表现.这使得到了 18 世纪,欧洲大陆上出现 Bernoulli,Euler,Lagrange 和 Laplace 这样的数学家的时候,英吉利海峡北面的岛上没有一个人的才华是可以与他们相提...
• odawnw

  2011-03-30
  同学们也许觉得，把空集也看做集合有些别扭。但正如把0看作数会有利于数学的发展一样，空集看作集合会给我们带来许多方便