巴拉巴西网络科学

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  2020-05-10
  随机网络理论的两个预测对真实网络有着直接的重要性：（1）一旦平均度超过<k>=1，巨连通分支将会出现。因此，只有在<k>>1时，节点才能自组织成一个网络。（2）当<k>>lnN时，所有连通分支被巨连通分支吸收，从而形成一个连通网络。
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  2020-05-10
  随机网络模型预测，网络的出现不是一个流畅的渐进过程：[插图]较小时观测到的孤立节点和小连通分支会经历一个相变，坍缩成一个巨连通分支（进阶阅读2.F）。通过改变[插图]，我们可以观测到4个拓扑结构不同的状态（图2-7）。
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  2020-05-10
  和真实数据的对比表明，随机网络模型不能刻画出真实网络的度分布。随机网络中，大多数节点都有类似的度，不存在枢纽节点。与之相反，在真实网络中，我们观察到很多高度连接的节点，节点的度之间有很大的差异。我们将在第3章来解答这些差异产生的原因。
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  2020-05-10
  小网络：二项分布对于小网络（N=10的2次方），由于不满足泊松近似的条件N》<k>，该网络的度分布明显偏离泊松分布。因此，小网络的度分布需要使用精确的二项分布形式。大网络：泊松分布对于大网络（N=10的3次方，N=10的4次方），其度分布与灰线所示的泊松分布相差无几。因此，当网络大小N很大时，度分布和网络大小无关。为了避免随机性带来的噪声，图中所示的结果是在1000个独立生成的随机网络上平均得到的。
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  2020-05-10
  综上所述，由相同参数N和p产生的不同随机网络，其链接数可以不同。链接数的期望值取决于N和p。增大p的值会使随机网络变得更稠密：平均链接数从<L>=0线性增加到Lmax，节点平均度由<L>=0增加到<L>=N-1。
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  2020-05-10
  随机网络由N个节点组成，每对节点相互连接的概率为p。构建随机网络的步骤如下：（1）从N个孤立节点开始。（2）选择一对节点，产生一个0到1之间的随机数。如果该随机数小于p，在这对节点之间放置一条链接；否则，该节点对保持不连接。（3）对所有N（N-1）/2个节点对，重复步骤（2）。上述过程得到的网络被称为随机图或随机网络。
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  2020-05-08
  梅特卡夫定律：网络的价值梅特卡夫定律指出，网络的价值与网络节点个数的平方成正比。......如果网络大小增加一倍（N=20），链接数会增加不止一倍，而是差不多4倍（Lmax=190）。这一现象在经济学中被称为网络外部性（networkexternality）。有两个问题限制了梅特卡夫定律的有效性：（1）大多数网络是稀疏的，这意味着只有很小一部分链接会出现。因此，网络价值并非像N2那样增大，而是与网络大小N呈线性关系。（2）链接是有权重的，并不是所有链接的价值都一样。有些链接经常被使用，而绝大多数链接很少被使用。
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  2020-05-08
  度是节点的一个关键属性，表示该节点和其他节点之间的链接个数。在手机通话网络中，度表示一个人通过手机联系过的人数；在引文网络中，度表示一篇论文获得的引用数。
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  2020-05-08
  我们也可以构造出一些从图论角度看是合法的、却没有什么实际用途的网络。例如，将同姓的人连接起来可以得到一个从定义上看没什么问题的网络（约翰和约翰相连，而玛丽和玛丽相连），我们可以使用网络科学工具进对其性质进行分析。然而，其实际用途却是值得怀疑的。因此，将网络科学用于研究复杂系统时，需要仔细考虑节点和链接的选择，以确保构造出的网络对于所研究的问题是有意义的。
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  2020-05-12
  度分布的低阶矩具有一些重要解释：（1）n=1：一阶矩是平均度。（2）n=2：二阶可以帮助我们计算方差。方差刻画了度分布的散布程度，其平方根σ被称为标准差。（3）n=3：三阶距体现了度分布的偏斜度，反映了度分布pk在平均值附近的对称程度。
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  2020-05-12
  随机网络和无标度网络的主要区别，从根本上来说是由于泊松分布和幂律分布的形状不同而造成的。随机网络中，大多数节点具有相近的度，因此枢纽节点是不存在的。在无标度网络中，枢纽节点不仅可以出现，而且必然出现。此外，无标度网络拥有的节点数越多，其枢纽节点越大。事实上，在无标度网络中，枢纽节点的大小随着网络大小呈多项式增长，因此可以增长到非常大。相比之下，随机网络中节点最大度的大小随着N呈对数增长或者增长更慢。这意味着即使在非常大的随机网络中，节点最大度依然会很小。
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  2020-05-12
  （1）当k比较小时，幂律分布在泊松分布之上。这表明，无标度网络中有大量度比较小的节点，而随机网络中这样的节点很少出现。（2）当k处于<k>附近时，泊松分布在幂律分布之上。这表明，随机网络中大多数节点的度在<k>附近。（3）当k比较大时，幂律分布再次位于泊松分布之上。如果将pk画在双对数坐标下，这种差异会格外明显。这一现象表明，在无标度网络中观察到一个大度节点——枢纽节点的概率，要比在随机网络中观察到这样一个节点的概率大好几个数量级。
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  2020-05-12
  度分布服从幂律分布的网络被称为无标度网络。如果网络是有向的，无标度性质分别适用于入度和出度。为了便于从数学角度研究无标度网络的性质，我们介绍了离散形式和连续形式的幂律分布。需要注意的是，无标度性质与采用离散形式还是连续形式无关。
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  2020-05-12
  枢纽节点并不是万维网所独有的，而是出现在大多数真实网络中。枢纽节点标志着真实网络中蕴含着一种比随机性更深层次的组织原则——我们称之为无标度性质。